Thực đơn
Giải tích lồi Cực tiểu hóa lồiBài toán cực tiểu hóa lồi (gốc) là một bài toán có dạng
inf x ∈ M f ( x ) {\displaystyle \inf _{x\in M}f(x)}sao cho f : X → R ∪ {±∞} là hàm lồi và M ⊆ X là một tập lồi.
Trong lý thuyết tối ưu hóa, nguyên lý đối ngẫu phát biểu rằng các bài toán tối ưu có thể xem từ cả hai phía, phía bài toán gốc và phía bài toán đối ngẫu.
Tổng quát, cho hai cặp đối ngẫu các không gian lồi địa phương tách được (X, X*) và (Y, Y*). Với một hàm f : X → R ∪ {+∞} cho trước, ta có thể định nghĩa bài toán gốc là tìm x sao cho
inf x ∈ X f ( x ) . {\displaystyle \inf _{x\in X}f(x).}Các điều kiện chế ước (nếu có) có thể được gắn vào hàm f bằng cách đặt f = f + I với I là hàm chỉ thị ứng với điều kiện đó. Gọi F : X × Y → R ∪ {±∞} là hàm nhiễu sao cho F(x, 0) = f(x).[5]
Bài toán đối ngẫu ứng với hàm nhiễu đã chọn được cho bởi
sup y ∗ ∈ Y ∗ − F ∗ ( 0 , y ∗ ) {\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)}với F* là hàm lồi liên hợp theo cả hai biến của F.
Khoảng cách đối ngẫu là hiệu giữa vế phải và vế trái của bất đẳng thức[6][5][7]
sup y ∗ ∈ Y ∗ − F ∗ ( 0 , y ∗ ) ≤ inf x ∈ X F ( x , 0 ) . {\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)\leq \inf _{x\in X}F(x,0).}Nguyên lý này giống với nguyên lý về đối ngẫu yếu. Nếu cả hai vế bằng nhau thì bài toán được gọi là đạt đối ngẫu mạnh.
Có nhiều điều kiện để xảy ra đối ngẫu mạnh, chẳng hạn như:
Đối với một bài toán cực tiểu hóa lồi với điều kiện ràng buộc viết dưới dạng bất đẳng thức,
minx f(x) sao cho gi(x) ≤ 0 với mọi i = 1, ..., m.bài toán đối ngẫu Lagrange là
supu infx L(x, u) sao cho ui(x) ≥ 0 với mọi i = 1, ..., m.trong đó hàm mục tiêu L(x, u) là hàm đối ngẫu Lagrange được định nghĩa như sau:
L ( x , u ) = f ( x ) + ∑ j = 1 m u j g j ( x ) {\displaystyle L(x,u)=f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)}Thực đơn
Giải tích lồi Cực tiểu hóa lồiLiên quan
Giải Giải bóng đá Ngoại hạng Anh Giải vô địch bóng đá U-23 châu Á 2018 Giải vô địch bóng đá châu Âu 2012 Giải vô địch bóng đá châu Âu 2024 Giải bóng đá vô địch quốc gia Đức Giải bóng rổ Nhà nghề Mỹ Giải vô địch bóng đá U-23 châu Á 2020 Giải vô địch bóng đá thế giới Giải bóng đá Vô địch Quốc gia Việt NamTài liệu tham khảo
WikiPedia: Giải tích lồi //www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1461544 //www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1921556 //www.worldcat.org/oclc/1037059594 //www.worldcat.org/oclc/21163277 //www.worldcat.org/oclc/285163112 //www.worldcat.org/oclc/53331084 //www.worldcat.org/oclc/883392544 https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.... https://archive.org/details/convexanalysisge00zali... https://archive.org/details/convexanalysisno00borw...